La optimización tradicional de la cartera requiere tres aportaciones: retornos esperados (la media de distribución), correlación entre los activos del universo de inversión y la volatilidad de estos activos. Las dos últimas están representadas por la llamada matriz de covarianza. Una forma ingenua de obtener estos inputs es tomando los retornos medios como los retornos esperados y las correlaciones históricas y las volatilidades para la matriz de covarianza en un cierto periodo de muestra.
Sin embargo, esto no es lo más óptimo ya que las primas de riesgo, las volatilidades y las correlaciones varían en el tiempo y la rentabilidad histórica no es necesariamente representativa para el futuro. Además, para hacer las cosas aún más difíciles, la optimización de la varianza media es muy sensible a los errores en las estimaciones de los inputs. Chopra y Ziemba muestran que los errores en la estimación de los retornos esperados son alrededor de diez veces tan importantes como los errores en las varianzas y las correlaciones. Aunque la importancia relativa de los errores depende de la tolerancia al riesgo de los inversores, para niveles de aversión al riesgo típicos de inversores institucionales, los errores en la media son predominantes, seguidos por los errores en las volatilidades. Los errores en las correlaciones son los menos importantes en términos de influencia en la optimización de la cartera. Esta sensibilidad de la optimización de la cartera sobre los retornos esperados es una de las razones por las que aparecen más investigaciones (académicas) sobre la optimización de carteras basadas en el riesgo.
Estas estrategias sólo requieren la matriz de covarianza como input y por tanto ningún retorno esperado (error-prone) tiene que ser estimado. Algunos ejemplos de estas estrategias son Minimum Risk Portfolio, Risk Parity Portfolio y Maximum Diversification portfolio.
En este artículo analizamos con mayor atención el Maximum Diversification Portfolio. Preferimos el Maximum Diversification portfolio al Minimum Risk Portfolio, principalmente porque el Minimum Risk Portfolio tiende a estar más concentrado y la asignación es menos estable a lo largo del tiempo. Por definición, el risk parity portfolio tiene una ponderación distinta de cero en cada activo del universo de inversión. Esto se convierte en un problema cuando algunos activos están altamente correlacionados o duplicados. En este caso, la cartera tendrá un sesgo hacia estos activos altamente correlacionados.
¿Cómo construir el maximum diversification portfolio? aplicamos nuestro procedimiento de 4 pasos como explicamos debajo. A continuación explicamos los pasos con un ejemplo.
Primero, tenemos que acotar el universo de inversión. Cuando aplicamos el método de maximum diversification en un marco de asignación de activos, éste se reduce a seleccionar las clases de activos elegibles. Dado que la estructura del universo de inversión tiene un impacto en la cartera óptima, hemos seleccionado un amplio universo de inversión que permita suficiente diversificación. Las siguientes clases de activos son seleccionadas para este ejercicio: bonos soberanos eurozona (índice JPMorgan EMU government bond), bonos soberanos estadounidenses (índice Barclays US Treasuries), bonos corporativos eurozona (índice (Iboxx Euro Corporate), bonos HY eurozona ( índice Barclays Euro HY ), Real Estate europeo ( índice FTSE EPRA/NAREIT Developed Europe ), renta variable europea (índice MSCI Europe ), renta variable global de mercados emergentes ( índice MSCI Emerging Markets Europe, Middle East and Africa ) y renta variable global ( índice MSCI World ex-Europe). Hemos seleccionado retornos semanales totales en euros para estas clases de activos en el periodo que comprende desde el 5 de enero de 2001 al 4 de abril de 2014.
En segundo lugar, se estiman las volatilidades y las covarianzas. En este artículo hemos usado la matriz de covarianza histórica. No obstante, en la práctica usamos una combinación de la matriz de covarianza histórica y una versión dinámica de la matriz de covarianza, que pondera más los datos recientes y que permite más variación temporal en las correlaciones y en las volatilidades. La matriz de correlación está representada debajo.
En general, el componente del bono es un buen diversificador frente al riesgo de la renta variable, ya que las correlaciones en el periodo de muestra son típicamente negativas. De hecho, la evidencia empírica sugiere que cuando las acciones tienen retornos negativos, los retornos de los bonos soberanos son normalmente positivos. Sin embargo, esta correlación parece volverse positiva cuando las acciones obtienen rentabilidad. Esto hace a los bonos una cobertura interesante para el riesgo bajista de la renta variable. Como las correlaciones no son constantes en el tiempo, podemos actualizar las correlaciones de forma regular teniendo en cuenta los cambios de las condiciones del mercado. Hay que tener en cuenta que los bonos soberanos estadounidenses conllevan una mayor volatilidad que los bonos soberanos de la zona euro porque la exposición al dólar no está cubierta.
Basándonos en la matriz de covarianza, ahora podemos optimizar la cartera. Para maximizar la diversificación debemos maximizar el ratio de diversificación. El ratio de diversificación es el ratio de la volatilidad media ponderada frente a la volatilidad general.
Donde N es el número de activos del universo de inversión, W es el vector con las ponderaciones de la cartera y CovMat es la matriz de covarianza. El ratio de diversificación es similar al conocido ratio de Sharpe, pero con las volatilidades del activo reemplazando los retornos esperados del activo en el numerador. De hecho, uno de los supuestos detrás del enfoque maximun diversification es la relación lineal entre los retornos esperados y el riesgo de activo. Al reemplazar los retornos esperados por el riesgo de activo, no necesitamos estimar los retornos esperados para construir la cartera óptima.
Ahora vamos a centrarnos en el ratio de diversificación. El ratio de diversificación para una cartera con sólo una clase de activo será igual a uno. Este será el límite más bajo. Cuando las correlaciones entre los diferentes activos son todas iguales a uno, el ratio de diversificación será también uno. De hecho, aunque la cartera invierta en diferentes clases de activo, como estas están perfectamente correlacionadas, la exposición efectiva es solo a una clase de activo y el ratio de diversificación es por consiguiente igual a uno.
Cuando las correlaciones son menores que uno (que suele ser el caso típico), la volatilidad de la cartera será menor que la suma de las ponderaciones de las volatilidades, debido a la reducción del riesgo por los efectos de la diversificación. Como resultado, el numerador será mayor que el denominador y por tanto, el ratio de diversificación será mayor que uno. Por consiguiente, en esencia, el ratio de diversificación mide la diversificación conseguida al tener activos que no están perfectamente correlacionados. Choueitafy, Froidure y Reynier describen algunas de las propiedades principales del maximum diversification portfolio. Vamos a comentar algunas de ellas basándonos en nuestro ejemplo, pero primero mostramos debajo el maximum diversification portfolio.
Esta cartera es la más diversificada. Su componente de bonos soberanos es predominante. Esto no es una sorpresa teniendo en cuenta la alta capacidad de diversificación de estos activos (ver la matriz de correlación presentada anteriormente). Podemos ver también una relación inversa con la volatilidad. Los activos con alta volatilidad, normalmente tienen menos ponderación. La cartera óptima no contiene bonos corporativos de la zona euro ni renta variable global sin Europa. ¿Por qué ocurre esto?
¿No ofrecen estos activos diversificación? La respuesta a esta pregunta nos lleva a la propiedad principal del maximum diversification portfolio. “Cualquier clase de activo no contemplada en el maximum diversification portfolio está más correlacionada con la cartera que cualquiera de las clases de activo que pertenecen a esta. Además, todas las clases de activo que pertenecen a la cartera tienen la misma correlación que esta”. Como ejemplo, la tabla presenta la correlación de las diferentes clases de activo en nuestro universo de inversión relativo al maximum diversification portfolio. Las clases de activo que son seleccionadas en la cartera tienen todas unas correlaciones igual que esta del 47%. Las clases de activo que están excluidas tienen una correlación con el maximum diversification portfolio de más del 47%. Esta propiedad muestra que todas las clases de activo en el universo de inversión están efectivamente representadas en la cartera, incluso si no están físicamente en la cartera.
Hemos mencionado con anterioridad, que el ratio de diversificación mide la diversificación obtenida al tener ciertos activos que no estas perfectamente correlacionados. El ratio de diversificación elevado al cuadrado tiene también una interpretación intuitiva. De hecho, este mide el número efectivo de factores de riesgo independientes en la cartera. En nuestro ejemplo el ratio de diversificación del maximum diversification portfolio es 2,11. Como resultado, el número de factores de riesgos independientes en la cartera es 4,55. En comparación con una cartera igualmente ponderada poco experta, se muestra que esta cartera solo “explota” 2 (el ratio de diversificación es solo de 1,45) factores de riesgo independientes de 4,5 disponibles en el universo de inversión. El Minimum Risk portfolio tiene un ratio de diversificación de 1,54 y 2,4 factores de riesgo independientes. El Equal Risk Contribution portfolio hace un mayor trabajo que el Minimun Risk y el Equally Weighted portfolio. Este tiene un ratio de diversificación del 1,98 y 3,9 factores de riesgo independientes, el cual está bastante cerca del número máximo de 4,5. Finalmente, el Máximum Sharpe ratio portfolio tiene un ratio de diversificación de 1,5 y solo se usan 2,2 factores de riesgo.
El grafico circular con la asignación del maximum diversification portfolio demuestra que la cartera optima es muy defensiva. La volatilidad anualizada histórica es solo del 4% p.a. que tiene el mismo perfil de riesgo que una inversión del 100% en bonos soberanos de la zona euro. Por tanto, añadimos el cuarto paso en nuestro proceso de inversión. Dependiendo del presupuesto de riesgo, puede ser linealmente reajustada al nivel de riesgo deseado. Como aumentamos linealmente las ponderaciones de los activos dentro de la cartera, el ratio de diversificación no varía. No obstante, por supuesto, el riesgo aumenta y también lo hace el retorno esperado. Finalmente, la cartera debe estar gestionada de una forma dinámica. Al actualizar la matriz de covarianza de forma regular, los cambios en las correlaciones y las volatilidades se tienen en cuenta. La composición óptima de la cartera se adaptará gradualmente a la nueva información del mercado.
En resumen. El maximum diversification portfolio explota la máxima exposición posible los factores de riesgo independientes en el universo de inversión. El ratio de diversificación proporciona una visión de las ganancias de la diversificación al invertir en clases de activo no relacionadas perfectamente e informa sobre el número de factores de riesgo independientes presentes en la cartera. El proceso de optimización altamente disciplinado se hace dinámico al actualizar la matriz de covarianza de manera regular y reducir la sensibilidad de entrada y la inestabilidad típica de los procesos de optimización basados en el retorno ajustado por riesgo. Las ponderaciones óptimas “obedecen” a una ley de correlación estricta y representan una cartera no diversificable con características de riesgo atractivas. Finalmente, el maximum diversification portfolio se puede adaptar fácilmente según el perfil de riesgo deseado del inversor.
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